La quantité de liberté dans cet isomorphisme est connu comme le groupe de Galois de p (si nous supposons qu`il est séparable). Chaque racine de p est égale à 3 √ 2 fois une racine de cube d`unité. Par exemple, les divisions sur le champ de nombres complexes depuis. Ensuite, on dit que le polynôme se divise en facteurs linéaires. Laisser f être un champ et p (x) être un polynôme dans l`anneau polynôme F [x] de degré n. New York: W. depuis p (X) a au plus n racines de la construction nécessitera au plus n extensions. Le polynôme $X ^ 2-2 $ ne se divise pas sur $ mathbb Q $. Algèbre. Certains polynômes, cependant, tels que x2 + 1 sur R, les nombres réels, n`ont pas de racines.

On peut montrer que ces champs de fractionnement existent et sont uniques jusqu`à l`isomorphisme. D`autre part, l`existence de fermetures algébriques en général est souvent prouvée par «passer à la limite» du résultat du champ de fractionnement, qui nécessite donc une preuve indépendante pour éviter le raisonnement circulaire. Une telle fermeture de Galois devrait contenir un champ de fractionnement pour tous les polynômes p sur K qui sont des polynômes minimes sur K d`éléments a de K ′. La bague de quotient R [x]/(x2 + 1) est donnée par la congruence x2 = 1. Dans Maple, les polynômes sont créés à partir de noms, d`entiers et d`autres valeurs Maple à l`aide des opérateurs arithmétiques +,-, * et ^. Laissez K être le champ de nombre rationnel Q et p (x) = x3 − 2. Mais il se divise sur $ mathbb Q [sqrt 2] $. Nous prétendons que, en tant que champ, le quotient R [x]/(x2 + 1) est isomorphe aux nombres complexes, C. Ki et α = π (X).

Pour trier un polynôme, utilisez la commande de tri. Étant donné une extension séparable K ′ de K, une fermeture de Galois L de K ′ est un type de champ de fractionnement, et aussi une extension de Galois de K contenant K ′ qui est minime, dans un sens évident. Comme mentionné ci-dessus, l`anneau quotient Ki + 1 = Ki [X]/(f (X)) est un champ lorsque f (X) est irréductible. Un tel quotient est une racine de cube primitive de l`unité, soit ω2 ou ω 3 = 1/ω 2 {displaystyle omega _ {3} = 1/ Omega _ {2}}. Il est également évident que la carte a + BX → a + IB est à la fois injective et surjective; ce qui signifie qu`un + BX → a + IB est un homomorphisme bijectif, i. La fonction NOPS donne le nombre de termes d`une somme (facteurs d`un produit) et la fonction op est utilisée pour extraire la ième durée d`une somme (facteur d`un produit) respectivement. En fait, nous voyons que la carte entre R [x]/(x2 + 1) et C donné par un + BX → a + IB est un homomorphisme en ce qui concerne l`addition et la multiplication.

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